📊 PORCENTAJE

Comprensión y aplicación de porcentajes en cálculos matemáticos y situaciones reales

Porcentajes Matemáticas Básicas - 45 min

3 secciones interactivas
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¿Qué es un Porcentaje?

Un porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción de 100. Se representa con el símbolo %. Esto significa "por cada cien" o "de cada cien partes".

Representación matemática de un porcentaje:

\[ x\% = \frac{x}{100} \]

El término proviene del latín "per centum" que significa "por ciento". Es una forma de expresar proporciones de manera estandarizada.

Fórmulas básicas

1. Para calcular el porcentaje de una cantidad:

\[ \text{Porcentaje de una cantidad} = \frac{\text{Porcentaje}}{100} \times \text{Cantidad} \]

2. Para calcular qué porcentaje es una cantidad de otra:

\[ \text{Porcentaje} = \frac{\text{Parte}}{\text{Total}} \times 100\% \]

3. Para calcular el valor original conociendo un porcentaje:

\[ \text{Valor Original} = \frac{\text{Valor con porcentaje aplicado}}{\frac{\text{Porcentaje}}{100}} \]

Ejemplos Detallados

Ejemplo 1: Cálculo directo

¿Cuánto es el 25% de 80 estudiantes?

Aplicamos la fórmula:

\[ 25\% \text{ de } 80 = \frac{25}{100} \times 80 = 0.25 \times 80 = 20 \]

Por lo tanto, el 25% de 80 estudiantes son 20 estudiantes.

Ejemplo 2: Descuento

Si un producto cuesta $120 y tiene un descuento del 15%, ¿cuánto pagaré?

Primero calculamos el valor del descuento:

\[ \text{Descuento} = 15\% \text{ de } \$120 = \frac{15}{100} \times \$120 = \$18 \]

Ahora restamos del precio original:

\[ \text{Precio final} = \$120 - \$18 = \$102 \]

Pagaré $102 por el producto.

Ejemplo 3: Calcular porcentaje

En un examen, Juan respondió correctamente 18 de 24 preguntas. ¿Qué porcentaje de respuestas correctas obtuvo?

Aplicamos la fórmula:

\[ \text{Porcentaje} = \frac{18}{24} \times 100\% = 0.75 \times 100\% = 75\% \]

Juan obtuvo un 75% de respuestas correctas en el examen.

Ejemplo 4: Valor original

Si después de un aumento del 20% un salario es de $1,800, ¿cuál era el salario original?

Aplicamos la fórmula del valor original:

\[ \text{Salario Original} = \frac{\$1,800}{1 + \frac{20}{100}} = \frac{\$1,800}{1.2} = \$1,500 \]

El salario original era de $1,500.

Ejercicios Prácticos

  1. Calcula el 35% de 240.

  2. En una clase de 30 estudiantes, 12 son mujeres. ¿Qué porcentaje de la clase son mujeres?

  3. Si el 40% de un número es 60, ¿cuál es el número?

  4. Un artículo que normalmente cuesta $85 está rebajado un 15%. ¿Cuánto cuesta con el descuento?

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Cálculos con Porcentajes

Existen tres tipos principales de cálculos con porcentajes que podemos realizar:

1. Calcular el porcentaje de un número
\[ P\% \text{ de } N = \frac{P}{100} \times N \]

Usado para encontrar descuentos, impuestos, propinas, etc.

2. Calcular qué porcentaje es un número de otro
\[ \frac{A}{B} \times 100\% = P\% \]

Usado para comparar cantidades, calificaciones, etc.

3. Calcular el número original
\[ \frac{V}{1 \pm \frac{P}{100}} = N \]

Usado cuando sabemos el resultado después de aplicar un porcentaje.

Nota importante: En la tercera fórmula, usamos + cuando el valor ha aumentado (como en un aumento de precio) y - cuando el valor ha disminuido (como en un descuento).

Ejemplos detallados:

Ejemplo 1: Calcular el porcentaje de un número

Calcular el 35% de 180.

Aplicamos la fórmula:

\[ 35\% \text{ de } 180 = \frac{35}{100} \times 180 = 0.35 \times 180 = 63 \]

Por lo tanto, el 35% de 180 es 63.

Ejemplo 2: Calcular qué porcentaje es un número de otro

¿Qué porcentaje es 27 de 120?

Aplicamos la fórmula:

\[ \frac{27}{120} \times 100\% = 0.225 \times 100\% = 22.5\% \]

Por lo tanto, 27 es el 22.5% de 120.

Ejemplo 3: Calcular el número original

Si el 42% de un número es 84, ¿cuál es el número?

Establecemos la ecuación:

\[ 42\% \text{ de } x = 84 \] \[ \frac{42}{100} \times x = 84 \] \[ 0.42x = 84 \] \[ x = \frac{84}{0.42} = 200 \]

Por lo tanto, el número original es 200.

Ejemplo 4: Valor después de un aumento

Si un producto de $250 aumenta un 18%, ¿cuál será su nuevo precio?

Método 1: Calculando el aumento y sumándolo

\[ \text{Aumento} = 18\% \text{ de } \$250 = 0.18 \times \$250 = \$45 \] \[ \text{Nuevo precio} = \$250 + \$45 = \$295 \]

Método 2: Aplicando directamente el factor de incremento

\[ \text{Nuevo precio} = \$250 \times (1 + 0.18) = \$250 \times 1.18 = \$295 \]

Por lo tanto, el nuevo precio será de $295.

Ejemplo 5: Calcular el precio original después de un descuento

Un artículo está rebajado un 25% y cuesta $120. ¿Cuál era su precio original?

Aplicamos la fórmula para encontrar el valor original:

\[ \text{Precio con descuento} = \text{Precio original} \times (1 - \frac{25}{100}) \] \[ \$120 = \text{Precio original} \times 0.75 \] \[ \text{Precio original} = \frac{\$120}{0.75} = \$160 \]

Por lo tanto, el precio original era de $160.

Ejercicios Prácticos

  1. Calcula el 18% de 350.

  2. ¿Qué porcentaje es 45 de 180?

  3. Si el 65% de un número es 130, ¿cuál es el número?

  4. Un televisor cuesta $540 después de un aumento del 8%. ¿Cuánto costaba antes del aumento?

  5. Una camisa cuesta $42 después de un descuento del 30%. ¿Cuál era su precio original?

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Aplicaciones Prácticas

Los porcentajes tienen numerosas aplicaciones en la vida cotidiana y en diferentes campos:

Comercio y Finanzas
  • Descuentos y ofertas comerciales
  • Cálculo de impuestos (IVA, ISR)
  • Interés simple y compuesto
  • Comisiones y márgenes de ganancia
Educación y Estadística
  • Calificaciones y evaluaciones
  • Análisis estadístico de datos
  • Gráficos y representaciones visuales
  • Muestreo y probabilidad
Salud y Nutrición
  • Concentraciones de medicamentos
  • Composición nutricional de alimentos
  • Índice de masa corporal (IMC)
  • Tasas de prevalencia de enfermedades
Ingeniería y Ciencias
  • Eficiencia de sistemas y procesos
  • Concentraciones de soluciones
  • Rendimiento de materiales
  • Medidas de error y precisión

Ejemplos detallados de aplicaciones:

Ejemplo 1: Descuentos Comerciales

Un comerciante ofrece un descuento del 20% en todos sus productos. Si el precio original de un artículo es $350, ¿cuál será el precio final?

Paso 1: Calcular el monto del descuento

\[ \text{Descuento} = 20\% \text{ de } \$350 = 0.20 \times \$350 = \$70 \]

Paso 2: Restar el descuento del precio original

\[ \text{Precio final} = \$350 - \$70 = \$280 \]

También podemos usar la fórmula directa:

\[ \text{Precio con descuento} = \text{Precio original} \times (1 - \frac{\text{Porcentaje de descuento}}{100}) \] \[ \text{Precio con descuento} = \$350 \times (1 - \frac{20}{100}) = \$350 \times 0.80 = \$280 \]
Ejemplo 2: Interés Compuesto

Si inviertes $5,000 a una tasa de interés compuesto del 6% anual, ¿cuánto tendrás después de 3 años?

Aplicamos la fórmula del interés compuesto:

\[ M = P \times (1 + \frac{r}{100})^t \]

Donde:

  • M = Monto final
  • P = Principal (cantidad inicial)
  • r = Tasa de interés (en porcentaje)
  • t = Tiempo (en años)

Sustituimos los valores:

\[ M = \$5,000 \times (1 + \frac{6}{100})^3 \] \[ M = \$5,000 \times (1.06)^3 \] \[ M = \$5,000 \times 1.191 \] \[ M = \$5,955 \]

Después de 3 años, tendrás $5,955.

Ejemplo 3: Concentraciones y Soluciones

Una solución de alcohol al 70% contiene 70 ml de alcohol por cada 100 ml de solución. ¿Cuánto alcohol hay en 250 ml de esta solución?

Aplicamos la fórmula de porcentaje:

\[ \text{Cantidad de alcohol} = 70\% \text{ de } 250 \text{ ml} = 0.70 \times 250 \text{ ml} = 175 \text{ ml} \]

Por lo tanto, en 250 ml de solución hay 175 ml de alcohol.

Ejemplo 4: Cambios Porcentuales Sucesivos

El precio de un producto aumentó un 10% en enero y luego disminuyó un 10% en febrero. ¿Cuál es el cambio porcentual total?

Supongamos un precio inicial P:

\[ \text{Precio después del aumento} = P \times (1 + \frac{10}{100}) = P \times 1.10 \]

Luego aplicamos la disminución del 10%:

\[ \text{Precio final} = P \times 1.10 \times (1 - \frac{10}{100}) = P \times 1.10 \times 0.90 = P \times 0.99 \]

Esto significa que el precio final es el 99% del precio original, lo que equivale a una disminución del 1%.

Nota importante: Los cambios porcentuales sucesivos no se suman aritméticamente. En este caso, un aumento del 10% seguido de una disminución del 10% no resulta en un 0% de cambio total.

Ejercicios Prácticos

  1. Una tienda ofrece un descuento del 15% en todos los productos. Si compras un artículo que originalmente cuesta $280, ¿cuánto pagarás después del descuento?

  2. Si depositas $3,000 en una cuenta de ahorro con una tasa de interés del 4.5% anual, ¿cuánto dinero tendrás después de 2 años si el interés es compuesto?

  3. En una escuela, el 65% de los estudiantes son mujeres. Si hay 420 estudiantes en total, ¿cuántos son hombres?

  4. Un producto cuesta $85 con el 16% de IVA incluido. ¿Cuál es el precio sin IVA?

  5. La población de una ciudad creció un 12% en un año, llegando a 67,200 habitantes. ¿Cuál era la población al inicio del año?

Aumentos Sucesivos

Entendemos por aumentos sucesivos a aquellos aumentos que se van efectuando uno a continuación de otro considerando como el nuevo 100% a la cantidad que se va formando.

Fórmula para Aumento Único (AU) equivalente:

\[ AU = A_1 + A_2 + \frac{A_1 \times A_2}{100} \]

Donde \(A_1\) y \(A_2\) son los porcentajes de los aumentos sucesivos.

Ejemplo:

Si el precio de un televisor es 240 dólares y sufre dos aumentos sucesivos del 20% y 25% respectivamente ¿Cuál será su nuevo precio?

Solución:

1er aumento: 20% de 240

\[ \frac{20}{100} \times 240 = 48 \]

Nuevo precio: 240 + 48 = 288

2do aumento: 25% de 288

\[ \frac{25}{100} \times 288 = 72 \]

Nuevo precio: 288 + 72 = 360

Usando la fórmula de aumento único (AU):

\[ AU = A_1 + A_2 + \frac{A_1 \times A_2}{100} \] \[ AU = 20 + 25 + \frac{20 \times 25}{100} \] \[ AU = 20 + 25 + \frac{500}{100} \] \[ AU = 20 + 25 + 5 = 50\% \]

Por lo tanto, el aumento único equivalente es del 50% y el precio final es: $240 + 50% de $240 = $240 + $120 = $360

Descuentos Sucesivos

Se entiende por descuentos sucesivos, a aquellos descuentos que se van efectuando uno a continuación de otro considerando como el nuevo 100% a la cantidad que va quedando.

Fórmula para Descuento Único (DU) equivalente:

\[ DU = D_1 + D_2 - \frac{D_1 \times D_2}{100} \]

Donde \(D_1\) y \(D_2\) son los porcentajes de los descuentos sucesivos.

Ejemplo:

Si al precio de una grabadora que cuesta 300 dólares se le hace dos descuentos sucesivos del 20% y 10%, ¿cuál será su nuevo precio?

Solución:

Precio Inicial: 300

1er Descuento: 20% de 300

\[ \frac{20}{100} \times 300 = 60 \]

Nuevo precio: 300 - 60 = 240

2do Descuento: 10% de 240

\[ \frac{10}{100} \times 240 = 24 \]

Precio Final: 240 - 24 = 216

Usando la fórmula de descuento único (DU):

\[ DU = D_1 + D_2 - \frac{D_1 \times D_2}{100} \] \[ DU = 20 + 10 - \frac{20 \times 10}{100} \] \[ DU = 20 + 10 - \frac{200}{100} \] \[ DU = 20 + 10 - 2 = 28\% \]

Por lo tanto, el descuento único equivalente es del 28% y el precio final es: $300 - 28% de $300 = $300 - $84 = $216

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Miscelánea de Ejercicios

A continuación, se presenta una serie de ejercicios variados sobre porcentajes para que los estudiantes practiquen y afiancen los conceptos aprendidos.

Instrucciones: Resuelve los siguientes ejercicios aplicando los conceptos y fórmulas estudiados. Para cada problema, identifica qué tipo de cálculo porcentual debes realizar.

Nivel Básico

Ejercicio 1:

Calcula el 45% de 320.

Ejercicio 2:

¿Qué porcentaje es 36 de 144?

Ejercicio 3:

Si el 28% de un número es 70, ¿cuál es el número?

Ejercicio 4:

Un artículo cuesta $95 y tiene un descuento del 12%. ¿Cuál es el precio final?

Ejercicio 5:

En una clase de 35 estudiantes, el 60% son niñas. ¿Cuántos niños hay en la clase?

Nivel Intermedio

Ejercicio 6:

Un producto cuesta $168 después de un descuento del 16%. ¿Cuál era el precio original?

Ejercicio 7:

La población de una ciudad era de 85,000 habitantes y ha aumentado un 8% en un año. ¿Cuál es la población actual?

Ejercicio 8:

El precio de un producto aumentó un 15% y ahora cuesta $253. ¿Cuál era su precio original?

Ejercicio 9:

En una tienda de ropa, los pantalones cuestan $240 y las camisas $180. Si compras 3 pantalones y 2 camisas, y hay un descuento del 10% sobre el total, ¿cuánto pagarás?

Ejercicio 10:

Si inviertes $5,500 a una tasa de interés compuesto del 5.5% anual, ¿cuánto dinero tendrás después de 3 años?

Nivel Avanzado

Ejercicio 11:

Un producto aumentó su precio un 15% en enero y luego un 10% adicional en febrero. ¿Cuál fue el porcentaje total de aumento?

Ejercicio 12:

Una tienda ofrece un descuento del 30% en todos sus artículos. Además, por ser cliente frecuente, te hacen un 15% adicional sobre el precio ya rebajado. ¿Cuál es el porcentaje total de descuento?

Ejercicio 13:

Un artículo cuesta $464 con IVA incluido (16%). Si el vendedor te ofrece un descuento del 20% sobre el precio sin IVA, ¿cuánto pagarás finalmente (con IVA incluido)?

Ejercicio 14:

En una solución, el 35% es agua y el resto es alcohol. Si se añaden 20 ml de agua a 150 ml de esta solución, ¿cuál será el nuevo porcentaje de agua en la solución?

Ejercicio 15:

Un negocio tuvo ganancias de $85,000 el primer año. El segundo año las ganancias aumentaron un 12% respecto al primero, y el tercer año disminuyeron un 8% respecto al segundo. ¿Cuál fue el porcentaje de cambio en las ganancias del tercer año respecto al primer año?

Problemas de Razonamiento

Problema 1:

María gasta el 25% de su salario en alquiler y el 15% en alimentación. Si le quedan $1,800 después de estos gastos, ¿cuál es su salario mensual?

Problema 2:

En una tienda, todos los artículos tienen un descuento del 20%. Además, si pagas con tarjeta de crédito, recibes un 5% adicional de descuento sobre el precio ya rebajado. Si compraste un artículo pagando $342 con tarjeta de crédito, ¿cuál era el precio original?

Problema 3:

En una empresa, el 40% de los empleados son mujeres. Si se contrataran 20 mujeres más y ningún hombre adicional, el porcentaje de mujeres subiría al 50%. ¿Cuántos empleados tiene actualmente la empresa?

Problema 4:

Un vendedor recibe una comisión del 8% sobre sus ventas totales. En un mes, sus comisiones sumaron $1,560. ¿Cuál fue el valor total de sus ventas ese mes?

Problema 5:

El costo de producción de un artículo es el 65% de su precio de venta. Si el fabricante desea aumentar su ganancia en un 20% sin cambiar el costo de producción, ¿en qué porcentaje debe aumentar el precio de venta?

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