Probabilidad y Estadística

Ejemplo 1: Al lanzar un dado, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Ejemplo 2: Al lanzar una moneda dos veces, Ω = {(cara,cara), (cara,cruz), (cruz,cara), (cruz,cruz)}

Ejemplo 3: Al extraer una carta de una baraja estándar, Ω contiene 52 elementos (todas las cartas posibles)

Ejemplo 1: Evento "número par al lanzar un dado" = {2, 4, 6}

Ejemplo 2: Evento "al menos una cara al lanzar dos monedas" = {(cara,cara), (cara,cruz), (cruz,cara)}

Ejemplo 3: Evento "extraer una carta de corazones" = {todos los corazones de la baraja} (13 cartas)

Ejemplo 1: Probabilidad de obtener un número par al lanzar un dado:

$$P(\text{número par}) = \frac{|\{2,4,6\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0.5$$

Ejemplo 2: Probabilidad de extraer un as de una baraja estándar:

$$P(\text{as}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13} \approx 0.077$$

Ejemplo: Al lanzar un dado, calcular la probabilidad de obtener un número par o mayor que 4.

Evento A: número par = {2, 4, 6}

Evento B: número mayor que 4 = {5, 6}

A ∩ B = {6} (números que son pares Y mayores que 4)

$$P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

$$P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

$$P(A \cap B) = \frac{1}{6}$$

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

Ejemplo 1 (independientes): Lanzar dos dados y obtener un 3 en el primero y un 5 en el segundo.

$$P(\text{3 en primer dado}) = \frac{1}{6}$$

$$P(\text{5 en segundo dado}) = \frac{1}{6}$$

$$P(\text{3 en primero y 5 en segundo}) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$$

Ejemplo 2 (dependientes): Extraer dos cartas de una baraja sin reposición y obtener dos ases.

$$P(\text{primer as}) = \frac{4}{52}$$

$$P(\text{segundo as | primer as}) = \frac{3}{51}$$

$$P(\text{dos ases}) = \frac{4}{52} \times \frac{3}{51} = \frac{12}{2652} = \frac{1}{221}$$

Ejemplo: Probabilidad de NO obtener un 6 al lanzar un dado.

$$P(\text{obtener 6}) = \frac{1}{6}$$

$$P(\text{NO obtener 6}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$$

Ejemplo: Para el conjunto de datos {4, 8, 6, 3, 7, 4, 2, 9}

Media: $\mu = \frac{4+8+6+3+7+4+2+9}{8} = \frac{43}{8} = 5.375$

Mediana: Ordenando los datos: {2, 3, 4, 4, 6, 7, 8, 9}

Como hay un número par de elementos (8), la mediana es el promedio de los dos valores centrales:

$\text{Mediana} = \frac{4+6}{2} = 5$

Moda: El valor 4 aparece dos veces, el resto una vez, por lo que la moda es 4.

Ejemplo: Para el conjunto de datos {4, 8, 6, 3, 7, 4, 2, 9}

Ya calculamos que μ = 5.375

Rango: Máximo - Mínimo = 9 - 2 = 7

Varianza:

$\sigma^2 = \frac{(4-5.375)^2 + (8-5.375)^2 + (6-5.375)^2 + (3-5.375)^2 + (7-5.375)^2 + (4-5.375)^2 + (2-5.375)^2 + (9-5.375)^2}{8}$

$\sigma^2 = \frac{(-1.375)^2 + (2.625)^2 + (0.625)^2 + (-2.375)^2 + (1.625)^2 + (-1.375)^2 + (-3.375)^2 + (3.625)^2}{8}$

$\sigma^2 = \frac{1.891 + 6.891 + 0.391 + 5.641 + 2.641 + 1.891 + 11.391 + 13.141}{8} = \frac{43.878}{8} = 5.485$

Desviación estándar:

$\sigma = \sqrt{5.485} \approx 2.342$

Ejemplo: Probabilidad de obtener exactamente 3 caras en 5 lanzamientos de una moneda justa.

Aquí, n = 5 (número de lanzamientos), k = 3 (número de éxitos deseados), p = 0.5 (probabilidad de cara)

$$P(X = 3) = \binom{5}{3} (0.5)^3 (0.5)^{5-3}$$

$$P(X = 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} (0.5)^3 (0.5)^2$$

$$P(X = 3) = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2 \cdot 1} (0.5)^3 (0.5)^2$$

$$P(X = 3) = 10 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^2 = 10 \cdot (0.5)^5 = 10 \cdot 0.03125 = 0.3125$$

Ejemplo 1: Estaturas de adultos (μ = 170 cm, σ = 10 cm)

Ejemplo 2: Puntajes de exámenes estandarizados (μ = 500, σ = 100)

Para calcular probabilidades con la distribución normal, se utiliza la estandarización:

$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$

Por ejemplo, la probabilidad de que un adulto mida más de 185 cm:

$$P(X > 185) = P\left(Z > \frac{185 - 170}{10}\right) = P(Z > 1.5)$$

Usando tablas de distribución normal o calculadoras, $P(Z > 1.5) \approx 0.0668$

Por lo tanto, aproximadamente el 6.68% de los adultos miden más de 185 cm.