🧮 Planteo & Resolución de Ecuaciones

Técnicas avanzadas de traducción de problemas verbales a lenguaje algebraico para el Examen de Admisión de la Escuela Politécnica Nacional (EPN)

Contenido de la Clase Magistral Planteo de Ecuaciones - Nivel EPN (3 horas - 180 min)

10 secciones interactivas

00 Introducción y Objetivos de la Clase

🎯 ¡Bienvenido a tu Preparación EPN!

Domina el Planteo de Ecuaciones con metodología probada y estrategias específicas para el examen de admisión de la Escuela Politécnica Nacional.

Duración

3 horas intensivas

180 minutos de aprendizaje

Nivel

Intermedio-Avanzado

Preparación EPN específica

Modalidad

Clase Magistral

Teoría + Práctica intensiva

📋 Objetivos de Aprendizaje

1
Traducción Algebraica

Dominar la conversión de enunciados verbales a expresiones matemáticas

2
Resolución Sistemática

Aplicar métodos eficientes para ecuaciones lineales y sistemas

3
Estrategias EPN

Técnicas específicas para el examen de admisión

4
Aplicación Práctica

Resolver problemas de contexto ingenieril real

🚀 Al finalizar esta clase, serás capaz de:
  • ✓ Plantear ecuaciones con confianza y precisión
  • ✓ Identificar y evitar errores comunes
  • ✓ Resolver sistemas de ecuaciones eficientemente
  • ✓ Aplicar estrategias específicas para el EPN
  • ✓ Gestionar el tiempo durante el examen
  • ✓ Verificar soluciones correctamente

🧠 Evaluación de Conocimientos Previos

Antes de comenzar, vamos a identificar tu nivel actual. Estos problemas nos ayudarán a adaptar la explicación según tus necesidades.

Nivel Básico
Tiempo: 5 min
1
Números Consecutivos

"La suma de dos números consecutivos es 47. ¿Cuáles son los números?"

💡 Pista:

Si el primer número es x, ¿cómo represento el siguiente número consecutivo?

2
Problema de Edades

"Pedro tiene 3 años más que el doble de la edad de Ana. Si Pedro tiene 17 años, ¿cuántos años tiene Ana?"

💡 Pista:

Si Ana tiene 'a' años, ¿cómo expreso la edad de Pedro en términos de 'a'?

Incluye la unidad (años)

💡 Ver Soluciones Detalladas
1
Solución: Números Consecutivos

📝 Paso 1: Definir variables

Sea x = primer número

Entonces x + 1 = segundo número

⚖️ Paso 2: Plantear ecuación

x + (x + 1) = 47

🔍 Paso 3: Resolver

2x + 1 = 47

2x = 46

x = 23

✅ Respuesta: 23 y 24

2
Solución: Problema de Edades

📝 Paso 1: Definir variable

Sea a = edad de Ana

⚖️ Paso 2: Traducir al lenguaje matemático

Edad de Pedro = 2a + 3 = 17

🔍 Paso 3: Resolver

2a + 3 = 17

2a = 14

a = 7

✅ Respuesta: Ana tiene 7 años

🎯 Reflexión Pedagógica

Conceptos Clave Aplicados:

  • • Definición clara de variables
  • • Traducción de lenguaje natural a algebraico
  • • Resolución sistemática paso a paso

Estrategias Aplicables en EPN:

  • • Verificación de resultados
  • • Identificación de patrones
  • • Organización del procedimiento

01 Fundamentos de Traducción Algebraica

🔤 Del Lenguaje Natural al Algebraico

Dominar la traducción algebraica es la clave del éxito en el EPN. Esta habilidad te permitirá convertir cualquier problema verbal en ecuaciones matemáticas precisas.

85%

de problemas EPN requieren traducción

3min

tiempo promedio por problema

90%

precisión con práctica sistemática

5

pasos del método EPN

🎯 Metodología de los 5 Pasos (Método EPN)
1
Leer

Comprende el problema completo

2
Identificar

Define variables y datos

3
Traducir

Convierte a lenguaje matemático

4
Resolver

Aplica operaciones algebraicas

5
Verificar

Comprueba la solución

📚 Diccionario de Traducción Algebraica

Domina el vocabulario matemático más frecuente en los exámenes EPN

➕ Suma y Resta
SUMA (+) Palabras clave

• más: "5 más que x" → x + 5

• aumenta: "aumenta en 3" → +3

• suma: "la suma de a y b" → a + b

• excede: "x excede a y en 4" → x = y + 4

RESTA (-) Palabras clave

• menos: "x menos 3" → x - 3

• disminuye: "disminuye en 2" → -2

• diferencia: "diferencia entre a y b" → a - b

• queda: "le quedan x" → cantidad_inicial - gastado

✖️ Multiplicación y División
MULTIPLICACIÓN (×) Palabras clave

• veces: "3 veces x" → 3x

• producto: "producto de a y b" → a × b

• de: "el 20% de x" → 0.2x

• doble/triple: "doble de x" → 2x

DIVISIÓN (÷) Palabras clave

• entre: "x entre 4" → x/4

• dividido: "dividido por 2" → ÷2

• cociente: "cociente de a y b" → a/b

• mitad/tercera: "la mitad de x" → x/2

⚡ Ejemplo Maestro: Método de los 5 Pasos

Observa cómo aplicamos la metodología EPN en un problema real

📋 Problema Modelo EPN

"En un taller de ingeniería, Pedro tiene 5 años más que el triple de la edad de Ana. Si dentro de 8 años, Pedro tendrá el doble de la edad que tendrá Ana, ¿cuáles son sus edades actuales?"

1
🔍 LEER: Comprensión Total

Información clave identificada:

  • • Relación actual: Pedro = 3×Ana + 5
  • • Relación futura (en 8 años): Pedro = 2×Ana
  • • Pregunta: ¿Edades actuales?
2
🎯 IDENTIFICAR: Variables y Datos

Variables:

  • • a = edad actual de Ana
  • • p = edad actual de Pedro

Datos conocidos:

  • • Diferencia de 8 años en el futuro
  • • Relaciones de edad específicas
3
🔄 TRADUCIR: Lenguaje Matemático

Ecuación 1 (situación actual):

p = 3a + 5

"Pedro tiene 5 años más que el triple de la edad de Ana"

Ecuación 2 (situación futura):

(p + 8) = 2(a + 8)

"Dentro de 8 años, Pedro tendrá el doble de la edad de Ana"

4
⚙️ RESOLVER: Operaciones Algebraicas

Sustitución y simplificación:

1. Sustituir p = 3a + 5 en la segunda ecuación:

(3a + 5 + 8) = 2(a + 8)

2. Simplificar:

3a + 13 = 2a + 16

3. Resolver para a:

3a - 2a = 16 - 13

a = 3

4. Encontrar p:

p = 3(3) + 5 = 14

5
✅ VERIFICAR: Comprobar Solución

Verificación condición 1:

Pedro = 3×Ana + 5

14 = 3(3) + 5 = 14 ✓

Verificación condición 2:

En 8 años: 22 = 2(11) = 22 ✓

🎉 Respuesta Final: Ana tiene 3 años, Pedro tiene 14 años

🚨 Errores Más Frecuentes en EPN

Aprende de los errores más comunes para evitarlos en tu examen

Error #1: Orden en Restas

❌ Incorrecto:

"5 menos que x" → 5 - x

✅ Correcto:

"5 menos que x" → x - 5

El número viene primero, luego se resta

Error #2: "Es el doble que"

❌ Confusión común:

"x es el doble que y" → y = 2x

✅ Correcto:

"x es el doble que y" → x = 2y

El sujeto de la oración va a la izquierda

Error #3: Variables Ambiguas

❌ Definición vaga:

x = "el número"

✅ Definición clara:

x = edad actual de Pedro (en años)

Especifica qué representa y sus unidades

Error #4: Condiciones Omitidas

❌ Información perdida:

Solo traducir la relación principal

✅ Información completa:

Incluir todas las condiciones del problema

Lee el problema completo antes de traducir

🤔 Quiz Rápido: ¿Puedes Identificar el Error?

Problema: "Ana tiene 3 años menos que Pedro"
Traducción propuesta: A = P - 3

✍️ Laboratorio de Traducción Algebraica

Practica con ejercicios progresivos desde nivel básico hasta avanzado

Nivel Básico
8 Ejercicios
Tiempo: 15 min
1 🟢 Nivel Básico: Expresiones Simples
1

Expresión Simple

"El triple de un número aumentado en 7"

2

Diferencia

"La diferencia entre 20 y el doble de un número"

3

Edad Pasada

"La edad de Juan hace 5 años, si ahora tiene x años"

4

División

"El cociente entre un número y 4, disminuido en 3"

2 🟡 Nivel Intermedio: Problemas Contextualizados
5

Números Consecutivos

"La suma de tres números enteros consecutivos"

6

Relación de Edades

"María tiene 4 años más que el triple de la edad de Luis"

🔥 Reto de Traducción Avanzada

Problema Complejo:

"En una empresa, el salario de María es $200 más que el triple del salario de Pedro. Si entre los dos ganan $2,600, plantea las ecuaciones necesarias para encontrar cada salario."

💡 Ver solución completa

Variables:

• p = salario de Pedro

• m = salario de María

Ecuaciones:

• m = 3p + 200 (María gana $200 más que el triple de Pedro)

• p + m = 2600 (suma total de salarios)

Sustitución:

• p + (3p + 200) = 2600

• 4p + 200 = 2600

• 4p = 2400

• p = $600 (Pedro), m = $2000 (María)

⏱️ Mini Simulacro de Traducción EPN

Pon a prueba tu velocidad y precisión con este ejercicio cronometrado de 5 minutos

05:00

02
Ecuaciones Lineales y Problemas de Aplicación Domina el arte del planteamiento algebraico

📏 Planteamiento de Ecuaciones de Primer Grado

Las ecuaciones lineales son la piedra angular de muchos problemas en el examen EPN. Dominar el arte del planteamiento te permitirá resolver problemas complejos de edades, velocidades, porcentajes, proporciones y aplicaciones en ingeniería.

85%
de problemas EPN usan ecuaciones lineales
5
tipos principales de problemas
15
ejercicios prácticos incluidos
3
métodos de verificación
👥 Problemas de Edades

🎯 Patrones Comunes:

  • •"Dentro de n años..."
  • •"Hace n años..."
  • •"La suma de edades es..."
  • •"La diferencia de edades es..."

📋 Variables Típicas:

Edad actual A:

x años

Edad actual B:

y años

En n años A:

x + n

Hace n años B:

y - n

🚗 Problemas de Velocidad

⚡ Fórmula Fundamental:

d = v × t

distancia = velocidad × tiempo

🎯 Casos Frecuentes:

Encuentro:

d₁ + d₂ = d_total

Alcance:

d₁ = d₂ (cuando se encuentran)

Velocidades relativas:

v_rel = v₁ ± v₂

📊 Problemas de Porcentajes

🎯 Fórmula Fundamental:

Porcentaje = (Parte/Total) × 100

📈 Casos Típicos EPN:

Aumentos:

Valor final = Valor inicial × (1 + %/100)

Descuentos:

Valor final = Valor inicial × (1 - %/100)

Variación porcentual:

% = [(Valor final - Valor inicial)/Valor inicial] × 100

💰 Problemas de Dinero y Precios

💡 Estructura Típica:

Cantidad × Precio = Valor total

📈 Variaciones Comunes:

Descuentos:

P_final = P_original × (1 - d%)

Aumentos:

P_final = P_original × (1 + a%)

Interés simple:

I = C × r × t

🎯 Metodología Ganadora para el Examen EPN
📖 Fase de Análisis (2-3 min)
1

Lectura Comprensiva

Lee el problema completo 2 veces. Subraya palabras clave como "más que", "menos que", "dentro de", "hace".

2

Identificación de Variables

Determina qué te piden encontrar y asigna variables claras y consistentes.

3

Clasificación del Problema

Identifica si es de edades, velocidad, porcentajes, dinero o proporciones.

⚡ Fase de Resolución (5-7 min)
4

Planteamiento de la Ecuación

Traduce las relaciones del problema a una ecuación algebraica.

5

Resolución Algebraica

Despeja la variable siguiendo el orden de operaciones inversas.

6

Verificación y Respuesta

Sustituye el resultado en la ecuación original y verifica unidades.

🧮 Taller Interactivo de Problemas EPN
Categoría 1 Problemas de Edades - Nivel EPN
🎯 Ejercicio A - Intermedio ⭐⭐⭐

Problema: Ana tiene 5 años menos que Beatriz. Dentro de 8 años, la suma de sus edades será 39 años. ¿Cuántos años tienen actualmente?

💡 Ver solución completa
Variables:

Beatriz: x años, Ana: (x - 5) años

Ecuación:

(x + 8) + (x - 5 + 8) = 39

2x + 11 = 39

2x = 28 → x = 14

Respuesta:

Beatriz: 14 años, Ana: 9 años

🔥 Ejercicio B - Avanzado ⭐⭐⭐⭐⭐

Problema: Hace 6 años, Carlos tenía la mitad de la edad que tendrá dentro de 9 años. ¿Cuál es su edad actual?

🧠 Ver análisis y solución
Análisis:

Sea x = edad actual de Carlos

Hace 6 años: x - 6

Dentro de 9 años: x + 9

Ecuación:

x - 6 = (x + 9)/2

2(x - 6) = x + 9

2x - 12 = x + 9

x = 21

Verificación:

Hace 6 años: 21 - 6 = 15 años

Dentro de 9 años: 21 + 9 = 30 años

¿15 = 30/2? ✓ SÍ

Carlos tiene 21 años

Categoría 2 Problemas de Velocidad - Aplicación EPN
🚗 Ejercicio de Encuentro ⭐⭐⭐⭐

Problema: Dos automóviles parten simultáneamente de ciudades que distan 420 km. Van al encuentro con velocidades de 60 km/h y 80 km/h respectivamente. ¿En cuánto tiempo se encuentran?

🎯 Ver análisis visual y solución
Análisis:

Los autos se acercan entre sí, por lo que la suma de las distancias recorridas debe ser igual a la distancia total.

Ecuación:

60t + 80t = 420

140t = 420

t = 3 horas

Verificación:

Auto 1: 60 × 3 = 180 km

Auto 2: 80 × 3 = 240 km

Total: 180 + 240 = 420 km ✓

Se encuentran en 3 horas

Categoría 3 Problemas de Porcentajes - Nivel EPN
📈 Ejercicio A - Aumentos y Descuentos ⭐⭐⭐

Problema: Un artículo cuesta $120. Si se le aplica un descuento del 15% y luego un aumento del 20%, ¿cuál es el precio final?

💡 Ver análisis detallado
Método directo:

Precio final = 120 × (1 - 0.15) × (1 + 0.20)

= 120 × 0.85 × 1.20 = $122.40

Variación total:

Cambio = (122.40 - 120)/120 × 100 = 2%

El precio aumentó un 2% en total

🧪 Ejercicio B - Concentraciones ⭐⭐⭐⭐

Problema: Una solución de 200 ml contiene 25% de alcohol. ¿Cuánta agua debe agregarse para que la concentración sea del 20%?

🎯 Ver solución paso a paso
Resolución:

50/(200 + x) = 0.20

50 = 0.20(200 + x)

50 = 40 + 0.20x

10 = 0.20x → x = 50 ml

Verificación:

Volumen final: 200 + 50 = 250 ml

Concentración: 50/250 = 0.20 = 20% ✓

Se deben agregar 50 ml de agua

🔥 Ejercicio C - Nivel Avanzado EPN ⭐⭐⭐⭐⭐

Problema: En una empresa, el 60% son hombres. De los hombres, el 40% son ingenieros. De las mujeres, el 30% son ingenieras. Si hay 84 ingenieros en total, ¿cuántos empleados tiene la empresa?

🧠 Ver análisis completo y verificación
Análisis detallado:

Si x = 233 empleados (redondeado)

Hombres: 233 × 0.6 = 140

Mujeres: 233 × 0.4 = 93

Total: 140 + 93 = 233 ✓

Verificación ingenieros:

Ing. hombres: 140 × 0.4 = 56

Ing. mujeres: 93 × 0.3 ≈ 28

Total ingenieros: 56 + 28 = 84 ✓

Respuesta EPN:

La empresa tiene 233 empleados

Distribución:

• 140 hombres (56 ingenieros)

• 93 mujeres (28 ingenieras)

• 84 ingenieros total

Categoría 4 Problemas de Dinero - Aplicaciones Avanzadas
💎 Ejercicio D - Interés Compuesto ⭐⭐⭐⭐

Problema: María invierte $5000 al 8% anual con interés compuesto. Si después de cierto tiempo tiene $6480, ¿cuánto tiempo transcurrió?

📊 Ver solución con logaritmos
Método logarítmico:

log(1.08)^t = log(1.296)

t × log(1.08) = log(1.296)

t = log(1.296)/log(1.08) ≈ 3.5 años

Verificación:

5000 × (1.08)^3.5 ≈ 5000 × 1.296 = $6480 ✓

Transcurrieron 3.5 años

🏪 Ejercicio E - Sistema de Precios ⭐⭐⭐⭐⭐

Problema: Un comerciante compra dos tipos de café: tipo A a $12/kg y tipo B a $8/kg. Quiere hacer una mezcla de 50 kg que cueste $9.60/kg. ¿Cuántos kg de cada tipo debe usar?

✅ Ver verificación completa
Solución:

Café A: x = 20 kg

Café B: y = 50 - 20 = 30 kg

Verificación:

Peso: 20 + 30 = 50 kg ✓

Costo: 12(20) + 8(30) = 480 ✓

Precio/kg: 480/50 = $9.60 ✓

Respuesta: 20 kg de café A y 30 kg de café B

Bonus Ejercicios Rápidos - Preparación Intensiva EPN
⚡ Ejercicio Rápido 1 2 min

Problema: El triple de un número menos 5 es igual al doble del número más 7. ¿Cuál es el número?

💡 Ver solución

3x - 5 = 2x + 7

x = 12

⚡ Ejercicio Rápido 2 3 min

Problema: Un padre tiene 42 años y su hijo 12. ¿En cuántos años la edad del padre será el triple de la del hijo?

💡 Ver solución

42 + x = 3(12 + x)

42 + x = 36 + 3x

x = 3 años

⚡ Ejercicio Rápido 3 4 min

Problema: Una tienda aumenta los precios 25% y luego hace un descuento del 20%. ¿Cuál es la variación final?

💡 Ver solución

1.25 × 0.80 = 1.00

No hay variación (0%)

🎯 Estrategias Finales para Dominar las Ecuaciones Lineales en el EPN
⏰ Durante el Examen

Lee 2 veces

Identifica datos y pregunta

Variables claras

Usa letras que tengan sentido

Verifica siempre

Sustituye y comprueba

🧠 Preparación Previa

Practica diariamente

Mínimo 5 problemas por día

Cronometra tiempo

Max 8-10 min por problema

Memoriza patrones

Reconoce tipos rápidamente

✅ Errores Comunes

❌ Variables confusas

No uses x, y para todo

❌ No verificar

Siempre comprueba el resultado

❌ Saltar pasos

Escribe cada operación

🏆 ¡Recuerda: La práctica constante es la clave del éxito en el EPN!

Domina estos patrones y estarás preparado para cualquier problema de ecuaciones lineales.

03
Sistemas de Ecuaciones 2×2 Domina la resolución de problemas con dos incógnitas

🔗 Sistemas de Ecuaciones Lineales con Dos Variables

Los sistemas de ecuaciones 2×2 son herramientas poderosas en el examen EPN, permitiendo resolver problemas complejos del mundo real que involucran dos incógnitas interrelacionadas. Dominar estos métodos te dará una ventaja significativa en geometría, física, economía y problemas de optimización.

3
métodos principales de resolución
70%
de problemas EPN incluyen sistemas
12
ejercicios prácticos incluidos
5
aplicaciones del mundo real

📚 Fundamentos Teóricos y Clasificación de Sistemas

1 Sistema Compatible Determinado

✅ Una solución única

Las rectas se cortan en un punto

🔢 Condición:

Determinante ≠ 0

📊 Ejemplo:

x + y = 5

x - y = 1

Solución: (3, 2)

2 Sistema Incompatible

❌ Sin solución

Rectas paralelas, no se cortan

🔢 Condición:

Misma pendiente, diferentes interceptos

📊 Ejemplo:

2x + 3y = 6

4x + 6y = 15

0 = 3 (Contradicción)

3 Sistema Compatible Indeterminado

∞ Infinitas soluciones

Las rectas son coincidentes

🔢 Condición:

Ecuaciones proporcionales

📊 Ejemplo:

x + 2y = 4

2x + 4y = 8

y = (4-x)/2

📈 Interpretación Gráfica y Geométrica

🎯 Método gráfico paso a paso:

  1. 1.Despejar y en cada ecuación
  2. 2.Identificar pendiente e intercepto
  3. 3.Graficar ambas rectas
  4. 4.Localizar punto de intersección
  5. 5.Verificar algebraicamente

⚡ Análisis rápido visual:

Pendientes diferentes → Una solución
Paralelas → Sin solución
Coincidentes → Infinitas soluciones

🧮 Determinantes y decisiones:

Para ax + by = c

dx + ey = f

D = ae - bd

D ≠ 0: Una solución
D = 0, Dx ≠ 0: Sin solución
D = Dx = Dy = 0: ∞ soluciones

🎯 Guía Estratégica: ¿Qué Método Elegir?

🔍 Análisis Inicial

¿Hay coeficiente 1?

→ Considera sustitución

¿Coeficientes grandes?

→ Considera eliminación

¿Sistema simétrico?

→ Cramer puede ser eficiente

¿Examen timed?

→ Método más familiar

🚀 Árbol de Decisión

PASO 1:

¿Una variable fácil de despejar?

SÍ → Sustitución

PASO 2:

¿Coeficientes múltiplos fáciles?

SÍ → Eliminación

PASO 3:

¿Necesitas verificación rápida?

SÍ → Cramer

⚠️ Errores Frecuentes

❌ Error aritmético

Verificar cada operación

❌ Signos incorrectos

Atención en eliminación

❌ Sustitución errónea

Verificar expresión correcta

❌ No verificar

Siempre comprobar solución

💡 Tips Avanzados

🎯 Combinación

Usa diferentes métodos según la fase

⚡ Speed tip

Practica estimación mental

🔄 Reversibilidad

Si un método no fluye, cambia

📝 Plantillas

Desarrolla formatos estándar

🔢 Método de Sustitución

⚡ Cuándo usar:

  • •Una variable tiene coeficiente 1 o -1
  • •Ecuaciones con fracciones simples
  • •Cuando el despeje es directo

📋 Pasos sistemáticos:

1. Elegir variable

Despeja la más simple

2. Sustituir

En la otra ecuación

3. Resolver

Ecuación de una variable

4. Encontrar la otra

Sustituir resultado

5. Verificar

En ambas ecuaciones

➕ Método de Eliminación

🎯 Ideal para:

  • •Coeficientes enteros grandes
  • •Cuando no hay coeficientes unitarios
  • •Sistemas simétricos

🔄 Proceso de eliminación:

1. Igualar coeficientes

Multiplicar ecuaciones

2. Eliminar variable

Sumar o restar

3. Resolver ecuación

De una variable

4. Sustituir

Para hallar la otra

5. Comprobar

En sistema original

🧮 Regla de Cramer

⚡ Fórmulas directas:

x = Δₓ/Δ

y = Δᵧ/Δ

Donde Δ ≠ 0

📊 Determinantes 2×2:

Δ (sistema)

ad - bc

Δₓ (para x)

Sustituir columna x

Δᵧ (para y)

Sustituir columna y

🚀 Sistemas Avanzados y Casos Especiales

¾ Sistemas con Fracciones

📋 Ejemplo tipo EPN:

x/2 + y/3 = 5

x/4 - y/6 = 1

🎯 Estrategia de simplificación:

  1. 1. Identificar MCM de denominadores
  2. 2. Multiplicar cada ecuación por el MCM
  3. 3. Resolver sistema resultante
  4. 4. Verificar en ecuaciones originales

⚡ Desarrollo:

MCM(2,3) = 6 → 3x + 2y = 30

MCM(4,6) = 12 → 3x - 2y = 12

Sumando: 6x = 42 → x = 7

Sustituyendo: y = 4.5

Solución: (7, 4.5)

k Sistemas Paramétricos

📋 Ejemplo con parámetro:

kx + y = 2

x + ky = 1

🧮 Análisis por determinante:

D = k² - 1 = (k-1)(k+1)

• Si k ≠ ±1: Una solución

• Si k = ±1: Casos especiales

🔍 Casos críticos:

k = 1:

x + y = 2, x + y = 1 → Incompatible

k = -1:

-x + y = 2, x - y = 1 → Compatible

0.1 Sistemas con Decimales

📊 Problema financiero:

0.05x + 0.08y = 650

x + y = 10000

💡 Técnica de escalado:

Multiplicar por 100: 5x + 8y = 65000

Mantener: x + y = 10000

Resolver sistema entero equivalente

0 Sistemas Homogéneos

🧬 Características especiales:

• Términos independientes = 0

• Siempre tiene solución (0,0)

• Si Det ≠ 0: Solo solución trivial

• Si Det = 0: Infinitas soluciones

📐 Ejemplo:

2x + 3y = 0

4x + 6y = 0

Infinitas soluciones: y = -2x/3

📐 Aplicaciones Geométricas

🔷 Figuras Rectangulares:

Perímetro:

P = 2(largo + ancho)

Área:

A = largo × ancho

📐 Ángulos:

Complementarios:

α + β = 90°

Suplementarios:

α + β = 180°

Triángulo:

α + β + γ = 180°

⚡ Física y Ciencias

🚗 Cinemática:

Posición:

x = x₀ + v₀t + ½at²

Encuentro:

x₁ = x₂ (mismo punto)

🔌 Electricidad:

Ley de Ohm:

V = I × R

Circuitos:

V_total = V₁ + V₂ (serie)

⚗️ Química:

Mezclas:

C₁V₁ + C₂V₂ = C_final × V_total

💡 Ejemplo Estratégico Tipo EPN

🏭 Problema de Producción:

"En una fábrica se producen tornillos y tuercas. Si se producen 120 piezas en total, y el número de tornillos es el triple del número de tuercas, ¿cuántos tornillos y tuercas se producen?"

Variables:

t = tuercas, s = tornillos

Sistema:

s + t = 120

s = 3t

🔧 Resolución por Sustitución:

Paso 1:

Sustituir s = 3t en la primera ecuación

Paso 2:

3t + t = 120 → 4t = 120 → t = 30

Paso 3:

s = 3(30) = 90

✅ Respuesta: 90 tornillos, 30 tuercas

⚠️ Casos Especiales - Análisis Geométrico
🚫 Sistema Inconsistente

No tiene solución

Rectas paralelas

Ejemplo:

x + y = 5

x + y = 3

Determinante:

Δ = 0, Δₓ ≠ 0 o Δᵧ ≠ 0

∞ Sistema Dependiente

Infinitas soluciones

Misma recta

Ejemplo:

2x + y = 4

4x + 2y = 8

Determinante:

Δ = Δₓ = Δᵧ = 0

✓ Sistema Independiente

Solución única

Rectas que se intersectan

Ejemplo:

x + y = 5

x - y = 1

Determinante:

Δ ≠ 0

🔬 Laboratorio Interactivo de Sistemas 2×2
Nivel 1 Problemas Numéricos Fundamentales
🎯 Ejercicio A - Suma y Diferencia ⭐⭐⭐

Problema: La suma de dos números es 25 y su diferencia es 7. Encuentra ambos números usando el método que prefieras.

🔍 Ver solución completa con 3 métodos
Método de Eliminación:

x + y = 25 ... (1)

x - y = 7 ... (2)

Sumando: 2x = 32 → x = 16

Sustituyendo: 16 + y = 25 → y = 9

Método de Sustitución:

De (2): x = 7 + y

En (1): (7 + y) + y = 25

7 + 2y = 25 → y = 9

x = 7 + 9 = 16

Regla de Cramer:

Δ = |1 1| = -2

    |1 -1|

x = |25 1|/(-2) = 16

y = |1 25|/(-2) = 9

✅ Respuesta: Los números son 16 y 9

Verificación: 16 + 9 = 25 ✓, 16 - 9 = 7 ✓

Nivel 2 Aplicaciones Económicas y Comerciales
💰 Ejercicio B - Sistema de Precios ⭐⭐⭐⭐

Problema: En una tienda, 3 cuadernos y 2 lápices cuestan $7.50. Si 2 cuadernos y 4 lápices cuestan $6.00, ¿cuál es el precio de cada artículo?

💰 Ver análisis económico completo
Resolución por eliminación:

3c + 2l = 7.50 ... (1)

2c + 4l = 6.00 ... (2)

Multiplicando (1) por 2: 6c + 4l = 15.00

Restando (2): 4c = 9.00 → c = 2.25

Sustituyendo: 3(2.25) + 2l = 7.50 → l = 0.375

Interpretación económica:

Cuaderno: $2.25, Lápiz: $0.375 (37.5 centavos)

Verificación: 3(2.25) + 2(0.375) = 6.75 + 0.75 = 7.50 ✓

📈 Ejercicio C - Inversiones ⭐⭐⭐⭐⭐

Problema Avanzado: María invierte $10,000 en dos fondos: uno al 5% anual y otro al 8% anual. Si al final del año recibe $650 de intereses, ¿cuánto invirtió en cada fondo?

📊 Ver análisis financiero completo
Variables y sistema:

x = inversión al 5%, y = inversión al 8%

x + y = 10,000 (capital total)

0.05x + 0.08y = 650 (intereses)

Solución:

De la primera: x = 10,000 - y

Sustituyendo: 0.05(10,000 - y) + 0.08y = 650

500 - 0.05y + 0.08y = 650

0.03y = 150 → y = 5,000

x = 10,000 - 5,000 = 5,000

Respuesta financiera:

$5,000 al 5% y $5,000 al 8%

Nivel 3 Geometría Aplicada y Espacial
📐 Ejercicio D - Rectángulo Complejo ⭐⭐⭐⭐⭐

Problema Geométrico: Un rectángulo tiene un perímetro de 28 cm. Si el largo es 2 cm mayor que el doble del ancho, encuentra las dimensiones y calcula el área.

📐 Ver solución geométrica completa
Análisis del problema:

Sea a = ancho del rectángulo

Entonces largo = 2a + 2

Perímetro: 2(a + 2a + 2) = 28

2(3a + 2) = 28

6a + 4 = 28

6a = 24 → a = 4 cm

largo = 2(4) + 2 = 10 cm

Verificación y cálculos:

Perímetro: 2(4 + 10) = 28 cm ✓

Área: 4 × 10 = 40 cm² ✓

Relación: 10 = 2(4) + 2 ✓

Dimensiones: 4 cm × 10 cm

Área: 40 cm²

🎯 Estrategias Maestras para Sistemas 2×2 en el EPN
🔍 Análisis Inicial

Identifica variables

Define claramente qué representan

Traduce condiciones

Convierte palabras en ecuaciones

Elige el método

Según la estructura del sistema

⚡ Ejecución Eficiente

Trabajo ordenado

Pasos claros y numerados

Cálculos precisos

Evita errores aritméticos

Verificación inmediata

Comprueba en sistema original

✅ Control de Calidad

✓ Coherencia física

¿La respuesta tiene sentido?

✓ Unidades correctas

Dimensiones y magnitudes

✓ Verificación total

Sustituye en ambas ecuaciones

Descanso Intermedio

15 minutos

Momento de Recarga Mental

Este descanso está estratégicamente ubicado después de 140 minutos de planteo y resolución intensiva para optimizar la concentración antes del módulo final de problemas tipo EPN.

Revisión de fórmulas clave
Intercambio de estrategias
Consultas sobre métodos
Preparación final EPN
Pausa Activa - Energiza tu Mente
Ejercicios Físicos
• Estiramientos de cuello:
Gira suavemente la cabeza en círculos, 5 veces hacia cada lado
• Rotación de hombros:
Levanta y rota los hombros hacia atrás 10 veces
• Flexiones de muñeca:
Estira las muñecas hacia arriba y abajo, 10 repeticiones
• Respiración profunda:
Inhala 4 seg, mantén 4 seg, exhala 6 seg - Repite 5 veces
Ejercicios Mentales
• Visualización positiva:
Imagínate resolviendo exitosamente el examen EPN
• Conteo regresivo:
Cuenta del 100 al 1 de 7 en 7 para enfocar la mente
• Recordar fórmulas:
Repasa mentalmente 3 fórmulas clave sin ver apuntes
• Mindfulness 2 min:
Concéntrate solo en tu respiración, observa pensamientos sin juzgar
Recarga Energética
• Hidratarse bien:
Bebe 1-2 vasos de agua para mantener el cerebro hidratado
• Snack saludable:
Frutas, frutos secos o yogurt para energía sostenida
• Lavarse la cara:
Agua fría en rostro y muñecas para activar la circulación
• Cambiar de posición:
Camina 2-3 minutos o cambia de asiento
Actividades Cuaderno
• Lista de confianza:
Escribe 3 temas que dominas completamente
• Esquema rápido:
Dibuja un mapa mental de fórmulas para el examen final
• Autoevaluación:
Califica del 1-10 tu nivel actual y escribe qué mejorar
• Estrategia EPN:
Anota el orden en que resolverás los tipos de problemas
Tiempo sugerido: 5-10 minutos de actividad

08 Aplicaciones en Ingeniería

🔧 Ecuaciones en el Mundo de la Ingeniería

Las ecuaciones algebraicas son herramientas fundamentales en todas las ramas de la ingeniería. Veamos cómo se aplican en las carreras de la EPN.

Ingeniería Civil

Cálculo de Cargas

F₁ + F₂ + F₃ = F_total

Distribución de fuerzas en estructuras

Mezclas de Concreto

C + A + G = V_total

Proporciones de cemento, arena y grava

Flujo de Fluidos

Q = A × v

Caudal en tuberías y canales

Ingeniería Eléctrica

Ley de Ohm

V = I × R

Relación voltaje-corriente-resistencia

Ley de Kirchhoff

∑I_entrada = ∑I_salida

Conservación de corriente en nodos

Potencia Eléctrica

P = V × I = I²R

Cálculo de consumo energético

Ingeniería Mecánica

Equilibrio de Fuerzas

∑Fx = 0, ∑Fy = 0

Análisis estático de estructuras

Cinemática

v = v₀ + at

Movimiento uniformemente acelerado

Transferencia de Calor

Q = mcΔT

Cálculo de energía térmica

Ingeniería Química

Balance de Masa

Entrada = Salida + Acumulación

Conservación de materia en procesos

Concentraciones

C₁V₁ + C₂V₂ = C₃V₃

Mezclas y diluciones

Reacciones Químicas

aA + bB → cC + dD

Estequiometría y balances molares

🎯 Caso de Estudio: Diseño de un Puente

Problema: Un puente debe soportar un peso total de 5000 N distribuido en tres puntos. El punto A soporta el doble que el punto B, y el punto C soporta 500 N más que el punto B. ¿Cuánto peso soporta cada punto?

Variables:

  • • B = peso en el punto B
  • • A = 2B (el doble que B)
  • • C = B + 500 (500 N más que B)

Ecuación: A + B + C = 5000

Sustituyendo: 2B + B + (B + 500) = 5000

Simplificando: 4B + 500 = 5000

Resolviendo: B = 1125 N

Respuesta:

  • • Punto A: 2250 N
  • • Punto B: 1125 N
  • • Punto C: 1625 N
🚀 Importancia para tu Futuro en la EPN
  • • Primer semestre: Cálculo I y Álgebra Lineal requieren estas bases
  • • Cursos de ingeniería: Todas las materias usan sistemas de ecuaciones
  • • Proyectos de titulación: Modelamiento matemático de problemas reales
  • • Vida profesional: Diseño, optimización y análisis de sistemas

09 Resumen y Conclusiones

En esta sesión de 3 horas hemos cubierto:

  • Traducción de enunciados verbales a expresiones algebraicas.
  • Resolución de ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones.
  • Aplicaciones prácticas al examen EPN y problemas de ingeniería.
  • Errores comunes y estrategias para evitarlos.
  • Ejemplos tipo examen y ejercicios adicionales de práctica.

Recomendaciones finales:

  1. Practica con más problemas de mezclas y velocidades.
  2. Revisa cada paso para evitar errores frecuentes.
  3. Aplica los conceptos en contextos de ingeniería.

¡Éxito en tu preparación y nos vemos en la próxima clase!

Contenido completo Nivel avanzado

Clase magistral diseñada para

Estudiantes de matemáticas