🔢 Jerarquía & Verificación de Operaciones
Dominando el orden correcto de las operaciones matemáticas y técnicas efectivas para verificar resultados en exámenes de admisión universitaria: UCE, EPN, ESPE y más
Jerarquía de Operaciones Matemáticas
Fundamentos de Álgebra - Nivel Universitario (3 horas - 180 min)
Introducción a la Jerarquía de Operaciones
La jerarquía de operaciones, también conocida como orden de operaciones o por el acrónimo PEMDAS (Paréntesis, Exponentes, Multiplicación y División, Adición y Sustracción), es un conjunto de reglas que establecen el orden en el que deben realizarse las operaciones matemáticas en una expresión.
Dominar estas reglas es fundamental para resolver correctamente problemas matemáticos, evitar errores comunes y tener éxito en los exámenes de admisión universitaria. Una comprensión sólida de la jerarquía de operaciones es la base para temas más avanzados como álgebra, cálculo y otras áreas de las matemáticas.
En los exámenes de admisión universitaria, aproximadamente el 20% de las preguntas de matemáticas requieren una aplicación correcta de las reglas de jerarquía de operaciones, ya sea directamente o como parte de problemas más complejos.
¿Cuál es el resultado correcto al resolver esta expresión aplicando la jerarquía de operaciones?
Ejercicio introductorio
Resuelve las siguientes expresiones aplicando correctamente la jerarquía de operaciones:
a) 2³ × 5 - 4² + (12 ÷ 3 + 1)
b) 6 + 2 × [8 - (3 + 1)]
c) 3 + 5 × (4²) ÷ (3 + 2) - 7
d) √25 + 3² × [10 ÷ (4 - 2) - 3]
Consejo: Identifica primero todas las operaciones a realizar y ordénalas según PEMDAS. Recuerda resolver paso a paso para evitar errores.
¿Por qué es importante?
La aplicación incorrecta de la jerarquía de operaciones es una de las principales causas de errores en los exámenes de matemáticas. Dominar estas reglas te permitirá resolver problemas correctamente y evitar perder puntos valiosos.
Aplicación en exámenes de admisión
En los exámenes de admisión universitaria, encontrarás problemas que requieren simplificar expresiones aritméticas y algebraicas complejas. La aplicación correcta de PEMDAS es esencial para obtener la respuesta correcta.
Desafío con Símbolos: "El Lenguaje de las Flores"
En este sistema matemático, cada flor representa un valor numérico:
Rosa = 5
Tulipán = 2
Girasol = 7
Flor de cerezo = 3
Calcula el valor de las siguientes expresiones aplicando la jerarquía de operaciones:
1. (🌹 + 🌷)² ÷ 🌹
2. 🌻 - [🌸 × (🌹 - 🌷)]
3. 🌷³ + 🌸² - √🌹
Este tipo de ejercicios desarrolla tu capacidad para aplicar la jerarquía de operaciones en contextos diferentes, reforzando la comprensión conceptual más allá de la simple memorización.
Reglas de la Jerarquía de Operaciones
La jerarquía de operaciones establece un orden específico para realizar cálculos matemáticos. A continuación, se presenta el orden correcto (PEMDAS):
P Paréntesis
Primero, resuelve todas las operaciones dentro de paréntesis, corchetes y llaves, trabajando desde los más internos hacia los externos. Este principio se aplica también a los radicales y fracciones.
Ejemplo: 2 × [(3 + 4) × (8 - 6)] = 2 × [7 × 2] = 2 × 14 = 28
E Exponentes y Raíces
Luego, calcula todas las potencias, raíces y logaritmos. Recuerda que un radical es equivalente a una potencia fraccionaria.
Ejemplos: 3² = 9, √16 = 4, 8^(2/3) = (8^2)^(1/3) = 64^(1/3) = 4
MD Multiplicación y División
Realiza todas las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha. Esto incluye operaciones con porcentajes y fracciones.
Ejemplo: 6 ÷ 2 × 3 ÷ 0.5 = 3 × 3 ÷ 0.5 = 9 ÷ 0.5 = 18
AS Adición y Sustracción
Finalmente, realiza todas las sumas y restas, de izquierda a derecha. Presta atención a los signos cuando hay múltiples operaciones consecutivas.
Ejemplo: 7 - 4 + 2 - (-3) = 3 + 2 + 3 = 8
Nemotecnia: PEMDAS
Frase para recordar: "Por Favor, Mi Estimado Señor Arias"
Errores comunes a evitar
- No respetar el orden de operaciones y calcular de izquierda a derecha.
- Olvidar resolver primero las operaciones dentro de paréntesis.
- Confundir el orden entre multiplicación/división y adición/sustracción.
- No aplicar el principio de izquierda a derecha para operaciones del mismo nivel.
- Aplicar incorrectamente la regla de los signos en operaciones con números negativos.
- Olvidar que las raíces y logaritmos tienen la misma prioridad que los exponentes.
Ejercicios de aplicación de PEMDAS
Aplica correctamente la jerarquía de operaciones para resolver estas expresiones complejas:
1) 3^2 × (4 + 2) ÷ 2^3 - √(9 + 16)
2) 4 × [5 + 3 × (10 - 8)^2] - 7^2 ÷ 7
3) 20 ÷ (2 + 3) × [4 - (3 - 2)^2] + 5
4) 5 × (2^3 - 4) + 36 ÷ (3^2 - 6 × 1)
Ejercicio avanzado: Fracciones complejas
Consejo: Resuelve primero las operaciones dentro de los paréntesis más internos y luego trabaja hacia afuera. Recuerda que la fracción entera actúa como un gran símbolo de agrupación.
Desafío del Sistema Solar: "El Valor de los Planetas"
En este sistema, cada planeta representa un valor numérico específico:
Tierra = 3
Saturno = 6
Marte = 4
Luna = 1
Aplica las reglas PEMDAS para resolver estas expresiones astronómicas:
1. 🪐 ÷ (🌍 - 🌕) × 🔴²
2. (🌍 + 🌕)³ - [🪐 × (🔴 - 🌕)]
3. √(🪐² - 🌍²) + 🔴 × 🌕 ÷ 🌍
Desafío astronómico avanzado:
4. {[(🪐 + 🌕) ÷ 🌍]² - 🔴} × √(🌍 × 🔴)
Este ejercicio te ayuda a visualizar la jerarquía de operaciones como un "sistema planetario" donde cada elemento tiene su propio orden y posición. La analogía refuerza la idea de que las reglas matemáticas son universales como las leyes físicas.
Operaciones Compuestas
Las operaciones compuestas son expresiones matemáticas que contienen múltiples operaciones de diferentes tipos. Resolver correctamente estas expresiones requiere una aplicación cuidadosa de la jerarquía de operaciones.
Ejemplo de resolución paso a paso (nivel avanzado)
Paso 1: Resolver paréntesis internos
5^2 ÷ (3 + 2) × [4 - (2)^2] + 3√16
Paso 2: Calcular exponentes y raíces
25 ÷ (5) × [4 - 4] + 3 × 4
Paso 3: Resolver paréntesis restantes
25 ÷ 5 × [0] + 12
Paso 4: Multiplicación y división (de izquierda a derecha)
5 × 0 + 12 = 0 + 12
Paso 5: Suma final
0 + 12 = 12
Resultado final: 12
Ejemplo avanzado 1: Fracciones complejas
Expresión:
(3² - 4) ÷ (2 × 5 - 8) + 4 × [2 + (3 - 1)]
Paréntesis internos: (3 - 1) = 2
(3² - 4) ÷ (2 × 5 - 8) + 4 × [2 + 2]
Exponentes: 3² = 9
(9 - 4) ÷ (2 × 5 - 8) + 4 × [2 + 2]
Paréntesis: (9 - 4) = 5, (2 × 5 - 8) = 2, [2 + 2] = 4
5 ÷ 2 + 4 × 4
Multiplicación/División: 5 ÷ 2 = 2.5, 4 × 4 = 16
2.5 + 16 = 18.5
Ejemplo avanzado 2: Radicales y potencias
Expresión:
√(5² - 1) × [6 ÷ (3 - 1)]² - 3^2
Paréntesis: (5² - 1) = 24, (3 - 1) = 2
√24 × [6 ÷ 2]² - 3^2
Corchetes y división: [6 ÷ 2] = 3
√24 × 3² - 3^2
Exponentes y raíces: √24 ≈ 4.9, 3² = 9, 3^2 = 9
4.9 × 9 - 9
Multiplicación: 4.9 × 9 = 44.1
44.1 - 9 = 35.1
Actividad práctica avanzada
Resuelve las siguientes operaciones compuestas de nivel avanzado aplicando la jerarquía de operaciones:
1) 2³ × √(16 - 7) + [5² ÷ (3 + 2)] - 6
2) [4² - (8 ÷ 2)²] × 3 + √(9 × 4)
3) 5 × {[12 ÷ (2 + 1)] - 2²} + 3^3 ÷ 9
4) 7 - 3 × [4 - (6 - 2)] + √(2^4 ÷ 4)
Desafío: Operaciones con variables
Si a = 3, b = 5 y c = 2, calcula:
5) a² × (b - c) ÷ [a + (b ÷ c)]
6) √(a × b + c²) - [b ÷ (a - c)]²
Sugerencia: Para estos problemas más complejos, identifica primero todos los paréntesis, corchetes y llaves, y trabaja desde el más interno hacia el más externo. Escribe cada paso para evitar errores.
Laboratorio Matemático: "Fórmulas Químicas"
En nuestro laboratorio matemático, cada elemento químico tiene un valor numérico específico:
H
Hidrógeno = 1
O
Oxígeno = 8
C
Carbono = 6
N
Nitrógeno = 7
Resuelve estas "reacciones matemáticas" aplicando la jerarquía de operaciones:
1. H₂O: 2H + O ÷ (H + H) × O
2. CO₂: (C × O) ÷ [C - (O - C)²]
3. CH₄: C + √(H × O) - (O ÷ N)²
Reacción compleja: NH₃
4. (N² - C²) ÷ {[O - (H × 2)] + √C} × (H³ ÷ N)
Aplicación en Química Real
La jerarquía de operaciones es fundamental en ecuaciones químicas reales, como en el cálculo de masas molares, balanceo de ecuaciones y estequiometría. Dominar PEMDAS te ayudará en tus estudios de química y otras ciencias.
Pausa Activa
Recarga tu mente y mantén la concentración
Tomar pausas activas durante el estudio mejora la retención de información y previene la fatiga mental. Aprovecha este momento para descansar y prepararte para la segunda parte de la clase.
Ejercicio mental avanzado
Resuelve este acertijo de nivel avanzado:
"Si 3² × (4 - 1) ÷ 3 + 5 = 14, entonces 4² × (6 - 2) ÷ 4 + 7 = ?"
Pista: Identifica el patrón de la operación para encontrar la solución.
Desafío de memoria activa
Memoriza esta secuencia de operaciones:
"3² ÷ (5 - 2) × 4 + 1 = ?"
Cierra los ojos, visualiza cada paso, y luego resuelve mentalmente.
Beneficio: Este ejercicio mejora tu memoria de trabajo y tu capacidad de visualización matemática.
Estiramientos para Estudiantes
Estos ejercicios están diseñados para aliviar la tensión después de largas horas de estudio y preparación para tu examen de admisión universitaria.
1. Estiramiento de cuello y hombros
Inclina la cabeza hacia un lado, llevando la oreja hacia el hombro. Mantén 15 segundos y cambia de lado. Alivia la tensión por mantener la misma postura durante sesiones largas de estudio.
2. Estiramiento de espalda
De pie, cruza los brazos frente a ti, luego gira el torso lentamente hacia ambos lados, 5 veces en cada dirección. Mejora la circulación y reduce la rigidez de la espalda por estar sentado estudiando.
3. Extensión de piernas
Sentado, extiende una pierna y flexiona el pie hacia ti, manteniendo 15 segundos. Alterna ambas piernas. Previene calambres y mejora la circulación en las piernas durante largos periodos de estudio.
4. Ejercicio ocular 20-20-20
Cada 20 minutos, mira un objeto a 20 pies (6 metros) durante 20 segundos. Reduce la fatiga visual causada por la lectura continua de libros y apuntes.
Reflexión sobre tu Futuro Universitario
En tu cuaderno, dedica 5 minutos a responder estas preguntas:
- ¿Qué carreras te interesan más y por qué?
- ¿Cuáles son tus dos principales fortalezas y cómo te ayudarían en esas carreras?
- ¿Qué impacto quieres generar en la sociedad con tu profesión?
Este ejercicio te ayuda a clarificar tus objetivos y motivaciones para la elección de carrera universitaria.
Exploración de Carreras Universitarias
Aprovecha estos minutos para imaginar cómo sería un día en la vida de un profesional en estas carreras:
Escribe en tu cuaderno qué aspectos te resultan más atractivos de cada carrera y qué habilidades crees que necesitarías desarrollar para destacar en ellas.
La clase continuará automáticamente después de la pausa
Técnicas de Verificación
Verificar tus respuestas es una parte esencial para asegurar que has aplicado correctamente la jerarquía de operaciones. A continuación, se presentan algunas técnicas efectivas para comprobar tus resultados.
1 Doble cálculo con métodos diferentes
Resuelve la misma expresión utilizando un enfoque diferente. Por ejemplo, puedes reordenar la expresión utilizando propiedades matemáticas o usar paréntesis adicionales para aclarar el orden de las operaciones.
Ejemplo: Verificar 4 + 3 × 5
Método 1: PEMDAS estándar
4 + 3 × 5
4 + 15
19
Método 2: Usar paréntesis
4 + 3 × 5 = 4 + (3 × 5)
4 + 15
19
2 Sustitución de valores intermedios
Asigna letras a los resultados intermedios para simplificar el cálculo y reducir errores.
Ejemplo avanzado: Verificar 4^2 × √(36 - 9) ÷ (7 - 5)²
Método de sustitución:
Llamemos A = 4² = 16
Llamemos B = √(36 - 9) = √27 ≈ 5.2
Llamemos C = (7 - 5)² = 2² = 4
Ahora: A × B ÷ C = 16 × 5.2 ÷ 4 = 83.2 ÷ 4 = 20.8
3 Uso correcto de la calculadora
Las calculadoras científicas están programadas para seguir la jerarquía de operaciones, pero debes ingresar la expresión correctamente.
Forma correcta:
Ingresar la expresión completa antes de presionar =
Resultado: 15
Errores comunes:
Calcular secuencialmente sin considerar PEMDAS
Resultado incorrecto: 22
4 Estimación y verificación de magnitud
Estima aproximadamente cuál debería ser el orden de magnitud del resultado para detectar errores significativos.
Ejemplo avanzado: 98.5 ÷ 6.9 × 3.2 + 12.7 - 4^2
Estimación:
98.5 ÷ 6.9 es aproximadamente 100 ÷ 7 ≈ 14.3
14.3 × 3.2 es aproximadamente 14 × 3 ≈ 42
42 + 12.7 es aproximadamente 42 + 13 = 55
4^2 = 16
55 - 16 ≈ 39
Si tu resultado final está alrededor de 39, probablemente es correcto.
5 Uso de propiedades matemáticas
Utiliza propiedades como la distributiva, asociativa o conmutativa para reorganizar la expresión de manera que sea más fácil de calcular.
Ejemplo: 4 × (25 + 75) - 3 × (15 + 5)
Usando la propiedad distributiva:
4 × (25 + 75) - 3 × (15 + 5)
4 × 100 - 3 × 20
400 - 60 = 340
Método alternativo:
4 × (25 + 75) - 3 × (15 + 5)
= 4 × 25 + 4 × 75 - 3 × 15 - 3 × 5 (propiedad distributiva)
= 100 + 300 - 45 - 15
= 400 - 60 = 340
Ejercicios de verificación para estudiantes
Para cada una de las siguientes expresiones, resuelve utilizando PEMDAS y luego verifica tu respuesta aplicando al menos dos de las técnicas de verificación explicadas:
Ejercicio 1
5² ÷ (10 - 5) × 3 - √(4 + 5)
Utiliza el método de sustitución y el método de estimación para verificar tu respuesta.
Ejercicio 2
3 × [4² - (12 ÷ 6)] + 2³ ÷ 4
Utiliza el método de doble cálculo y la calculadora para comprobar tu respuesta.
Ejercicio avanzado: Detección de errores
Encuentra los errores en los siguientes cálculos y corrige el procedimiento:
Cálculo incorrecto:
3 + 4 × 2² - 8 ÷ 4
= 3 + 4 × 4 - 8 ÷ 4
= 3 + 16 - 8 ÷ 4
= 19 - 8 ÷ 4
= 19 - 2
= 17
Cálculo incorrecto:
6 × (3 + 2) ÷ 3 - 4²
= 6 × 5 ÷ 3 - 4²
= 30 ÷ 3 - 4²
= 10 - 4²
= 10 - 16
= -6
Consejo para el examen
En el examen de admisión universitaria, siempre verifica tus respuestas con al menos dos de estas técnicas. Presta especial atención a los problemas que mezclan múltiples operaciones, especialmente aquellos con fracciones, radicales y potencias. Un error en la aplicación de la jerarquía puede cambiar completamente el resultado final.
Sinfonía Matemática: "Armonía de Operaciones"
En nuestra orquesta matemática, cada nota musical tiene un valor numérico asignado:
Do = 2
Re = 4
Mi = 5
Fa = 3
Resuelve estas "composiciones matemáticas" y verifica tus respuestas usando al menos dos técnicas de verificación:
1. (🎵 + 🎶) × 🎼 - 🎹²
Método 1: Resolución directa
(2 + 4) × 5 - 3²
6 × 5 - 9
30 - 9 = 21
Método 2: Sustitución
A = (2 + 4) = 6
B = 3² = 9
A × 5 - B = 6 × 5 - 9 = 30 - 9 = 21
2. 🎵² × (🎼 - 🎶 ÷ 🎵) + √🎹
Método 1: Resolución paso a paso
Método 2: Estimación
3. [🎶² - (🎵 + 🎹)] ÷ {🎼 - [🎹 - (🎶 - 🎵)²]}
Desafío de verificación:
Para esta expresión compleja, aplica al menos tres técnicas de verificación diferentes para asegurar tu respuesta.
Reflexión sobre la verificación
Así como en música una sola nota desafinada puede arruinar toda una sinfonía, en matemáticas un solo error en la aplicación de PEMDAS puede cambiar completamente el resultado. La verificación constante es tu "afinador matemático".
Aplicaciones en Exámenes de Admisión
En los exámenes de admisión universitaria, la correcta aplicación de la jerarquía de operaciones es crucial no solo en problemas directos de aritmética, sino también en problemas más complejos que involucran álgebra, geometría y otros temas. A continuación, veremos algunos tipos de problemas comunes.
1 Simplificación de expresiones aritméticas complejas
Problema:
Calcular: 5^3 ÷ (2³ - 2²) + √(49 + 36) - [3 × (8 ÷ 4)]²
Paso 1: Resolver paréntesis y corchetes internos
5^3 ÷ (8 - 4) + √(85) - [3 × 2]²
Paso 2: Calcular exponentes y raíces
125 ÷ (4) + 9.22 - [6]²
Paso 3: Resolver corchetes y paréntesis restantes
125 ÷ 4 + 9.22 - 36
Paso 4: División
31.25 + 9.22 - 36
Paso 5: Suma y resta (de izquierda a derecha)
40.47 - 36 = 4.47
Respuesta: 4.47
2 Aplicación en problemas algebraicos avanzados
Problema:
Si x = 3, y = 4 y z = 2, calcular el valor de la expresión:
2x³ - 3y(x + z) + 4xy ÷ z² - √(x² + y²)
Paso 1: Sustituir variables
2(3)³ - 3(4)(3 + 2) + 4(3)(4) ÷ (2)² - √((3)² + (4)²)
Paso 2: Resolver paréntesis
2(27) - 3(4)(5) + 4(3)(4) ÷ 4 - √(9 + 16)
Paso 3: Multiplicaciones en paréntesis
2(27) - 3(20) + 4(12) ÷ 4 - √(25)
Paso 4: Exponentes y raíces
54 - 60 + 48 ÷ 4 - 5
Paso 5: División
54 - 60 + 12 - 5
Paso 6: Suma y resta (de izquierda a derecha)
54 - 60 + 12 - 5 = -6 + 12 - 5 = 6 - 5 = 1
Respuesta: 1
3 Problemas de nivel desafiante
Problema:
Calcular el valor numérico de la expresión:
(3²)³ ÷ 3^4 + {[5 × (8 - 3)] ÷ (2²)} × [√(4 × 9) - 5]
Paso 1: Resolver los paréntesis más internos
(3²)³ ÷ 3^4 + {[5 × 5] ÷ (4)} × [√(36) - 5]
Paso 2: Calcular exponentes, potencias y raíces
(9)³ ÷ 81 + {[25] ÷ (4)} × [6 - 5]
Paso 3: Continuar con potencias y paréntesis
729 ÷ 81 + {25 ÷ 4} × [1]
Paso 4: Realizar las divisiones
9 + {6.25} × [1]
Paso 5: Calcular llaves y corchetes
9 + 6.25
Paso 6: Suma final
15.25
Respuesta: 15.25
Ejercicios tipo examen para estudiantes
Resuelve los siguientes problemas aplicando la jerarquía de operaciones. Estos ejercicios son similares a los que encontrarás en exámenes de admisión universitaria.
Ejercicio 1: Aritmética avanzada
3^2 × [√(121) - 4] ÷ {5 - [3 - (2 - 1)]} + 6²
Ejercicio 2: Álgebra con fracciones
Si a = 2, b = 5 y c = 3, calcular:
(a² + b) ÷ (c - a) + [b × (c - a)] ÷ c²
Ejercicio 3: Radicales y potencias
√(5² + 11) × [4³ ÷ (2 × 2²)] - (3^2 - 4)
Ejercicio 4: Operaciones combinadas
5 × {[16 ÷ (2 + 6)] + 3²} - 2 × √(25 + 11)
Desafío de nivel avanzado
El siguiente problema requiere atención especial a los detalles y un dominio completo de la jerarquía de operaciones:
{[(6² - 2³) ÷ (7 - 3)] + √(5² + 4²)} × [3^3 ÷ (3 × 3) - √4]
Consejo: Divide el problema en partes manejables, resolviendo primero lo que está dentro de cada nivel de paréntesis, llaves o corchetes. Verifica tu resultado utilizando al menos dos de las técnicas de verificación estudiadas.
Estrategias avanzadas para exámenes de admisión
- Identifica patrones numéricos: Algunos problemas de jerarquía pueden simplificarse al identificar patrones como diferencias de cuadrados, factores comunes o identidades notables.
- Aplica propiedades avanzadas: En expresiones complejas, utiliza propiedades como la distributiva, asociativa y conmutativa para reorganizar términos y simplificar cálculos.
- Verificación cruzada: Utiliza al menos dos métodos diferentes de verificación para problemas complejos, especialmente cuando involucran radicales, potencias o fracciones.
- Reconoce "trampas" comunes: Los exámenes de admisión suelen incluir opciones de respuesta que corresponden a errores comunes en la aplicación de PEMDAS. Mantente alerta.
- Técnica de sustitución: Cuando trabajes con variables, asigna valores simples a las variables para verificar tus cálculos antes de proceder con el enfoque algebraico completo.
- Prioriza la precisión sobre la velocidad: En problemas de jerarquía, un solo error puede llevarte a una respuesta completamente diferente. Es mejor tomarse unos segundos más para garantizar la precisión.
Preparación intensiva para exámenes de admisión
La práctica constante con problemas de dificultad progresiva es la clave para dominar la jerarquía de operaciones. Descarga los ejercicios adicionales y resuelve problemas diarios para alcanzar la excelencia matemática.
Mapas Estelares: "Matemáticas en el Cosmos"
En nuestro observatorio matemático, cada cuerpo celeste tiene un valor numérico asignado:
Estrella = 5
Luna = 3
Cometa = 7
Estrella fugaz = 2
Estos problemas simulan situaciones típicas de examen de admisión. Resuelve aplicando PEMDAS:
1. Distancia entre galaxias: ✨² × [☄️ - (🌙 × 🌠)] + 🌠³
2. Formación estelar: {[(✨ + 🌙)² ÷ ☄️] + √(🌠 × ✨)} × (🌙² - 🌠)
3. Energía de supernova: 🌠(✨ - 🌙) + [☄️² ÷ (🌙 + 🌠)] - √(✨ × 🌙)
Problema avanzado de examen de admisión:
4. Gravedad cuántica: {[(✨³ ÷ ☄️) - (🌙² × 🌠)] + √(☄️² - 🌠²)} ÷ [(✨ - 🌙) × 🌠]
Reflexión sobre exámenes de admisión
Así como los astrónomos deben seguir un protocolo preciso para sus cálculos cósmicos, en los exámenes de admisión debes seguir rigurosamente las reglas de jerarquía de operaciones. Un error en el orden puede cambiar completamente el resultado, igual que un pequeño error en un cálculo astronómico puede llevar a conclusiones muy diferentes sobre el universo.
Clase magistral diseñada para
Aspirantes Universitarios