📊 Progresiones Aritméticas y Geométricas

Aprende sobre secuencias numéricas y sus patrones: diferencias constantes y razones fijas

🎯 Objetivos de Aprendizaje

  • ✓ Identificar progresiones aritméticas y geométricas
  • ✓ Calcular términos usando fórmulas matemáticas
  • ✓ Encontrar sumas de progresiones finitas e infinitas
  • ✓ Resolver problemas de aplicación práctica

📈 Progresión Aritmética

Secuencia donde cada término se obtiene sumando una diferencia constante (d) al anterior.

Ejemplo: 2, 5, 8, 11, 14, 17, ... (d = 3)

Fórmula del término n-ésimo:

$$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$$

Donde: a₁ = primer término, d = diferencia común

Suma de n términos:

$$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$

O también: $$S_n = \frac{n[2a_1 + (n-1)d]}{2}$$

📚 Ejemplo Detallado:

Problema: En una progresión aritmética, a₁ = 7 y d = 4. Encuentra a₁₀ y S₁₀.

Solución para a₁₀:

$$a_{10} = a_1 + (10-1) \cdot d$$ $$a_{10} = 7 + 9 \cdot 4$$ $$a_{10} = 7 + 36 = 43$$

Solución para S₁₀:

$$S_{10} = \frac{10(7 + 43)}{2}$$ $$S_{10} = \frac{10 \cdot 50}{2}$$ $$S_{10} = 250$$

📊 Progresión Geométrica

Secuencia donde cada término se obtiene multiplicando por una razón constante (r).

Ejemplo: 3, 6, 12, 24, 48, 96, ... (r = 2)

Fórmula del término n-ésimo:

$$a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$$

Donde: a₁ = primer término, r = razón común

Suma de n términos:

$$S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}$$

Para r ≠ 1

📚 Ejemplo Detallado:

Problema: En una progresión geométrica, a₁ = 5 y r = 3. Encuentra a₆ y S₆.

Solución para a₆:

$$a_6 = a_1 \cdot r^{(6-1)}$$ $$a_6 = 5 \cdot 3^5$$ $$a_6 = 5 \cdot 243 = 1215$$

Solución para S₆:

$$S_6 = 5 \cdot \frac{3^6 - 1}{3 - 1}$$ $$S_6 = 5 \cdot \frac{729 - 1}{2}$$ $$S_6 = 5 \cdot 364 = 1820$$

✏️ Ejercicios para Practicar

Progresiones Aritméticas:

Ejercicio 1:

Encuentra el 15° término de: 4, 7, 10, 13, ...

Ver solución

d = 3, a₁ = 4

$$a_{15} = 4 + (15-1) \cdot 3 = 4 + 42 = 46$$

Ejercicio 2:

Suma de los primeros 20 términos de: 1, 4, 7, 10, ...

Ver solución

d = 3, a₁ = 1, n = 20

$$S_{20} = \frac{20[2(1) + (20-1) \cdot 3]}{2} = 610$$

Progresiones Geométricas:

Ejercicio 3:

Encuentra el 8° término de: 2, 6, 18, 54, ...

Ver solución

r = 3, a₁ = 2

$$a_8 = 2 \cdot 3^{(8-1)} = 2 \cdot 3^7 = 4374$$

Ejercicio 4:

Suma de los primeros 6 términos de: 1, 2, 4, 8, ...

Ver solución

r = 2, a₁ = 1, n = 6

$$S_6 = 1 \cdot \frac{2^6 - 1}{2 - 1} = 63$$

⚠️ Casos Especiales

Suma Infinita Geométrica:

Cuando |r| < 1:

$$S_{\infty} = \frac{a_1}{1-r}$$

Ejemplo: 1, 1/2, 1/4, 1/8, ... → S∞ = 2

Identificación Rápida:

  • • Aritmética: Diferencias constantes
  • • Geométrica: Cocientes constantes
  • • Verifica los primeros términos
  • • Usa las fórmulas apropiadas

📝 Miscelánea de Ejercicios - Para Practicar

Sin Resolver

🎯 Instrucciones: Resuelve estos ejercicios aplicando las fórmulas y conceptos aprendidos. ¡Practica paso a paso y verifica tus respuestas!

📈 Progresiones Aritméticas

1 Básico

Encuentra el 25° término de la progresión aritmética: 8, 15, 22, 29, ...

Datos: $a_1 = ?$, $d = ?$, $n = 25$

Fórmula: $a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$

2 Intermedio

El quinto término de una P.A. es 17 y el decimotercer término es 41. Determina el primer término y la diferencia común.

Sistema: $a_5 = 17$, $a_{13} = 41$

Encuentra: $a_1$ y $d$

3 Intermedio

¿Cuántos términos de la progresión 5, 11, 17, 23, ... se necesitan para que la suma sea 2040?

Fórmula suma: $S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]$

Igualar a: $S_n = 2040$

4 Avanzado

Tres números están en progresión aritmética. Su suma es 48 y su producto es 1280. Encuentra los tres números.

Sean: $(a-d)$, $a$, $(a+d)$

Condiciones: Suma = 48, Producto = 1280

📊 Progresiones Geométricas

5 Básico

Calcula el 8° término de la progresión geométrica: 4, 12, 36, 108, ...

Datos: $a_1 = ?$, $r = ?$, $n = 8$

Fórmula: $a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$

6 Intermedio

El segundo término de una P.G. es 18 y el quinto término es 486. Encuentra el primer término y la razón común.

Sistema: $a_2 = 18$, $a_5 = 486$

Encuentra: $a_1$ y $r$

7 Avanzado

Encuentra la suma infinita de la serie: $$\frac{3}{4} + \frac{3}{8} + \frac{3}{16} + \frac{3}{32} + ...$$

Condición: $|r| < 1$

Fórmula: $S_∞ = \frac{a_1}{1-r}$

8 Avanzado

Una pelota rebota hasta 3/4 de su altura anterior. Si se deja caer desde 16 metros, ¿cuál es la distancia total recorrida?

Considerar: Caída + Rebotes hacia arriba y abajo

Serie geométrica: Rebotes infinitos

🔄 Problemas Mixtos y Aplicaciones

9 Aplicación

Un trabajo paga $800 el primer mes y aumenta $150 cada mes. ¿Cuánto ganará en total después de trabajar 2 años?

Tipo: Progresión Aritmética

Período: 24 meses

10 Aplicación

Una población de bacterias se duplica cada 3 horas. Si inicialmente hay 500 bacterias, ¿cuántas habrá después de 24 horas?

Tipo: Progresión Geométrica

Períodos: 24÷3 = 8 duplicaciones

11 Desafío

Demuestra que si $a$, $b$, $c$ están en P.A., entonces $a+c = 2b$ (Propiedad de la media aritmética).

Demostración: Usar definición de P.A.

Diferencia común: $b-a = c-b$

12 Desafío

Si $x$, $y$, $z$ están en P.G., demuestra que $y^2 = xz$ (Propiedad de la media geométrica).

Demostración: Usar definición de P.G.

Razón común: $\frac{y}{x} = \frac{z}{y}$

🏆 Desafíos Especiales

★ A Nivel: Experto

El Problema del Ajedrez: En un tablero de ajedrez (8×8), se coloca 1 grano de arroz en la primera casilla, 2 en la segunda, 4 en la tercera, y así sucesivamente, duplicando en cada casilla. ¿Cuántos granos hay en total en el tablero?

Pista: Es una P.G. con $a_1 = 1$, $r = 2$, y $n = 64$ casillas

★ B Nivel: Experto

Paradoja de Zenón: Aquiles corre 10 veces más rápido que una tortuga. Si la tortuga tiene 100 metros de ventaja, demuestra matemáticamente por qué Aquiles SÍ alcanza a la tortuga (usando series infinitas).

Pista: Analiza las distancias como una serie geométrica infinita

🎓
Consejos para Resolver
  • Identifica primero si es progresión aritmética o geométrica
  • Extrae los datos conocidos y organízalos
  • Aplica las fórmulas correspondientes paso a paso
  • Verifica que tu respuesta tenga sentido en el contexto
  • Para problemas complejos, dibuja o esquematiza la situación