Clase 6: Razones y Proporciones
Comprendiendo las relaciones entre cantidades y sus aplicaciones en el mundo real.
📊1. ¿Qué es una Razón?
Una razón es una manera de comparar dos cantidades del mismo tipo. Nos dice cuántas veces una cantidad contiene a la otra o cómo se relacionan entre sí. Es como una fotografía que captura la relación entre dos números.
🔤 Formas de expresar una razón:
a : b
Con dos puntos
a/b
Como fracción
"a de cada b"
En palabras
🏫 Ejemplo Paso a Paso:
En un aula hay 12 chicos y 18 chicas.
Paso 1: Escribir la razón inicial
Razón de chicos a chicas = 12:18
Paso 2: Encontrar el MCD de 12 y 18
Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18
MCD = 6
Paso 3: Simplificar dividiendo por el MCD
12 ÷ 6 = 2 y 18 ÷ 6 = 3
Razón simplificada = 2:3
💡 Interpretación: Por cada 2 chicos, hay 3 chicas.
🧠 ¡Practica tú!
Ejercicio 1.1:
En una biblioteca hay 24 libros de matemáticas y 36 libros de historia. Encuentra la razón simplificada de libros de matemáticas a libros de historia.
Ejercicio 1.2:
Un equipo de fútbol ganó 15 partidos y perdió 10. ¿Cuál es la razón de partidos ganados a partidos perdidos?
Ejercicio 1.3:
En una receta, se necesitan 250g de harina y 100g de azúcar. Expresa esta relación en su forma más simple.
⚖️2. ¿Qué es una Proporción?
Una proporción es una igualdad entre dos razones. Ocurre cuando dos razones tienen el mismo valor. Las proporciones son fundamentales para resolver problemas donde conocemos tres cantidades y necesitamos encontrar la cuarta.
🔧 Estructura de una Proporción:
a : b = c : d
Se lee: "a es a b como c es a d"
Donde a y d son los extremos, y b y c son los medios
🎯 Propiedad Fundamental:
En toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios:
a × d = b × c
🎓 Ejemplo Paso a Paso:
Si 3 manzanas cuestan $2, ¿cuánto costarán 9 manzanas?
Paso 1: Identificar las cantidades conocidas y la incógnita
3 manzanas → $2
9 manzanas → $x (desconocido)
Paso 2: Plantear la proporción
3 manzanas / $2 = 9 manzanas / $x
Paso 3: Aplicar la propiedad fundamental (multiplicación cruzada)
3 × x = 2 × 9
3x = 18
Paso 4: Resolver para x
x = 18 ÷ 3
x = $6
💡 Respuesta: 9 manzanas costarán $6.
🧠 ¡Practica tú!
Ejercicio 2.1:
Si 4 lápices cuestan $3, ¿cuánto costarán 12 lápices?
Ejercicio 2.2:
Un coche recorre 150 km en 2 horas. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 5 horas a la misma velocidad?
Ejercicio 2.3:
En una escuela, la razón de estudiantes a profesores es 25:1. Si hay 500 estudiantes, ¿cuántos profesores hay?
🎯3. La Regla de Tres: Herramienta Poderosa
La regla de tres es el método más usado para resolver proporciones. Es una técnica que nos permite encontrar un valor desconocido cuando conocemos tres valores relacionados proporcionalmente.
📋 Tipos de Regla de Tres:
🔼 Regla de Tres Directa
Las cantidades aumentan o disminuyen en la misma dirección
Más cantidad → Más precio
🔽 Regla de Tres Inversa
Una cantidad aumenta mientras la otra disminuye
Más velocidad → Menos tiempo
📋 Método Paso a Paso:
- Identifica las cantidades conocidas y la desconocida
- Plantea la proporción correctamente
- Determina si es directa o inversa
- Aplica la multiplicación cruzada
- Resuelve la ecuación resultante
- Verifica que la respuesta tenga sentido
🍎 Ejemplo Completo: Regla de Tres Directa
Una fábrica produce 240 juguetes en 6 horas. ¿Cuántos juguetes producirá en 10 horas?
Paso 1: Organizar la información
6 horas → 240 juguetes
10 horas → x juguetes
Paso 2: Identificar el tipo
Más horas = Más juguetes → Directa
Paso 3: Plantear la proporción
6 horas / 240 juguetes = 10 horas / x juguetes
Paso 4: Multiplicar en cruz
6 × x = 240 × 10
6x = 2400
Paso 5: Resolver
x = 2400 ÷ 6 = 400 juguetes
💡 Verificación: 400 > 240 ✓ (Más horas, más producción)
🚗 Ejemplo: Regla de Tres Inversa
12 obreros construyen una casa en 15 días. ¿En cuántos días la construirán 20 obreros?
Análisis: Más obreros = Menos días → Inversa
Proporción inversa:
12 obreros × 15 días = 20 obreros × x días
Resolución:
180 = 20x
x = 180 ÷ 20 = 9 días
🧠 ¡Practica tú!
Ejercicio 3.1 (Directa):
Una receta para 4 personas requiere 300g de pasta. ¿Cuánta pasta necesitamos para 7 personas?
Ejercicio 3.2 (Inversa):
8 grifos llenan una piscina en 3 horas. ¿Cuánto tiempo tardarán 12 grifos en llenar la misma piscina?
Ejercicio 3.3 (Directa):
Un mapa tiene escala 1:50,000. Si dos ciudades están a 8 cm en el mapa, ¿cuál es la distancia real en kilómetros?
Ejercicio 3.4 (Inversa):
Un tanque de gasolina dura 12 días si consumimos 15 litros diarios. ¿Cuántos días durará si consumimos 10 litros diarios?
🌍4. Aplicaciones en la Vida Real
Las razones y proporciones están en todas partes. Desde cocinar hasta planificar viajes, desde construir hasta hacer negocios. ¡Veamos cómo se aplican en situaciones reales!
🍳 En la Cocina
- • Ajustar recetas para más/menos personas
- • Mezclar ingredientes en proporciones correctas
- • Calcular tiempo de cocción
💰 En los Negocios
- • Calcular ganancias y pérdidas
- • Determinar precios por cantidad
- • Repartir utilidades proporcionalmente
🚗 En Viajes
- • Calcular consumo de combustible
- • Estimar tiempos de llegada
- • Interpretar escalas de mapas
🏗️ En Construcción
- • Mezclar cemento, arena y grava
- • Calcular materiales necesarios
- • Escalar planos arquitectónicos
🧪 Ejemplo Detallado: Problema de Mezclas
Para hacer concreto, la proporción ideal es 1 parte de cemento, 2 partes de arena y 3 partes de grava. Si necesitamos 18 sacos de mezcla total, ¿cuántos sacos de cada material necesitamos?
Paso 1: Entender la proporción
Cemento : Arena : Grava = 1 : 2 : 3
Total de partes = 1 + 2 + 3 = 6 partes
Paso 2: Calcular el valor de cada parte
18 sacos ÷ 6 partes = 3 sacos por parte
Paso 3: Calcular cada material
Cemento = 1 × 3 = 3 sacos
Arena = 2 × 3 = 6 sacos
Grava = 3 × 3 = 9 sacos
✓ Verificación: 3 + 6 + 9 = 18 sacos ✓
🏃♂️ Ejemplo: Problema de Velocidad
Un atleta corre 400 metros en 50 segundos. ¿Cuánto tiempo tardará en correr 1000 metros a la misma velocidad?
Información:
400 metros → 50 segundos
1000 metros → x segundos
Proporción:
400m/50s = 1000m/x
400x = 50 × 1000
x = 50,000 ÷ 400 = 125 segundos
💡 Conversión: 125 segundos = 2 minutos y 5 segundos
🧠 ¡Resuelve Situaciones Reales!
Ejercicio 4.1 - Cocina:
Una receta de pizza para 4 personas lleva 250g de queso. Si invitas a 10 personas, ¿cuánto queso necesitas?
Ejercicio 4.2 - Viajes:
Tu coche consume 7 litros cada 100 km. ¿Cuánto combustible necesitas para un viaje de 450 km?
Ejercicio 4.3 - Mapas:
En un mapa con escala 1:200,000, dos ciudades están separadas por 6.5 cm. ¿Cuál es la distancia real entre ellas?
Ejercicio 4.4 - Trabajo:
5 empleados terminan un proyecto en 12 días. Si el jefe contrata 3 empleados más, ¿en cuántos días terminarán un proyecto similar?
🏆5. Desafío Final: ¡Pon a Prueba tu Conocimiento!
¡Es hora de demostrar todo lo que has aprendido! Estos problemas integran todos los conceptos de razones y proporciones.
🥇 Desafío Nivel 1: La Fábrica
Una fábrica tiene 3 máquinas. La máquina A produce 150 piezas en 5 horas, la máquina B produce 200 piezas en 8 horas, y la máquina C produce lo mismo que la máquina A pero en 4 horas.
Pregunta 1: ¿Cuál máquina es más eficiente?
Pregunta 2: Si las tres máquinas trabajan juntas por 6 horas, ¿cuántas piezas producirán en total?
Pregunta 3: ¿Cuánto tiempo necesitarían trabajando juntas para producir 1000 piezas?
🥈 Desafío Nivel 2: El Experimento
En un laboratorio, una solución debe tener una concentración específica. Para prepararla se necesita mezclar alcohol y agua en la proporción 3:7. Si ya tienes 150 ml de una mezcla que contiene alcohol y agua en proporción 1:4, ¿cuánto alcohol puro debes agregar para obtener la concentración deseada?
Pista: Primero calcula cuánto alcohol y agua hay en la mezcla inicial.
🥉 Desafío Nivel 3: El Negocio
Tres socios invierten en un negocio. Ana invierte $15,000, Bruno $25,000 y Carlos $10,000. Al final del año, el negocio genera $18,000 de ganancia. Si las ganancias se reparten proporcionalmente a la inversión de cada uno, ¿cuánto recibe cada socio?
Bonus: ¿Qué porcentaje de retorno sobre la inversión obtuvo cada socio?
💡 Consejos para el Éxito
- ✓ Lee cuidadosamente: Identifica qué cantidades están relacionadas
- ✓ Organiza la información: Haz una tabla con lo que conoces y lo que buscas
- ✓ Verifica tu respuesta: ¿Tiene sentido? ¿Es lógica?
- ✓ Practica regularmente: Las razones y proporciones están en todos lados